Движение тела в поле тяжести с учётом сопротивления воздуха. Силы сопротивления движению Сопротивление движению со стороны воды

Сопротивление воздуха И это еще не все, что ожидает пассажиров в течение того краткого мига, который они проведут в канале пушки. Если бы каким-нибудь чудом они остались живы в момент взрыва, гибель ожидала бы их у выхода из орудия. Вспомним о сопротивлении воздуха! При

ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ И СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Связь между прикладными задачами и теоретическими обобщениями в русской механике второй половины XIX - начала XX в. получила также яркое выражение в работах по теории упругости и сопротивлению материалов.Задачи теории

3.5. Законы сохранения и изменения энергии

3.5.1. Закон изменения полной механической энергии

Изменение полной механической энергии системы тел происходит при совершении работы силами, действующими как между телами системы, так и со стороны внешних тел.

Изменение механической энергии ∆E системы тел определяется законом изменения полной механической энергии :

∆E = E 2 − E 1 = A внеш + A тр(сопр) ,

где E 1 - полная механическая энергия начального состояния системы; E 2 - полная механическая энергия конечного состояния системы; A внеш - работа, совершаемая над телами системы внешними силами; A тр(сопр) - работа, совершаемая силами трения (сопротивления), действующими внутри системы.

Пример 30. На некоторой высоте покоящееся тело имеет потенциальную энергию, равную 56 Дж. К моменту падения на Землю тело имеет кинетическую энергию, равную 44 Дж. Определить работу сил сопротивления воздуха.

Решение. На рисунке показаны два положения тела: на некоторой высоте (первое) и к моменту падения на Землю (второе). Нулевой уровень потенциальной энергии выбран на поверхности Земли.

Полная механическая энергия тела относительно поверхности Земли определяется суммой потенциальной и кинетической энергии:

• на некоторой высоте

E 1 = W p 1 + W k 1 ;

• к моменту падения на Землю

E 2 = W p 2 + W k 2 ,

где W p 1 = 56 Дж - потенциальная энергия тела на некоторой высоте; W k 1 = 0 - кинетическая энергия покоящегося на некоторой высоте тела; W p 2 = 0 Дж - потенциальная энергия тела к моменту падения на Землю; W k 2 = 44 Дж - кинетическая энергия тела к моменту падения на Землю.

Работу сил сопротивления воздуха найдем из закона изменения полной механической энергии тела:

где E 1 = W p 1 - полная механическая энергия тела на некоторой высоте; E 2 = W k 2 - полная механическая энергия тела к моменту падения на Землю; A внеш = 0 - работа внешних сил (внешние силы отсутствуют); A сопр - работа сил сопротивления воздуха.

Искомая работа сил сопротивления воздуха, таким образом, определяется выражением

A сопр = W k 2 − W p 1 .

Произведем вычисление:

A сопр = 44 − 56 = −12 Дж.

Работа сил сопротивления воздуха является отрицательной величиной.

Пример 31. Две пружины с коэффициентами жесткости 1,0 кН/м и 2,0 кН/м соединены параллельно. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть систему пружин на 20 см?

Решение. На рисунке показаны две пружины с разными коэффициентами жесткости, соединенные параллельно.

Внешняя сила F → , растягивающая пружины, зависит от величины деформации составной пружины, поэтому расчет работы указанной силы по формуле для вычисления работы постоянной силы неправомерен.

Для расчета работы воспользуемся законом изменения полной механической энергии системы:

E 2 − E 1 = A внеш + A сопр,

где E 1 - полная механическая энергия составной пружины в недеформированном состоянии; E 2 - полная механическая энергия деформированной пружины; A внеш - работа внешней силы (искомая величина); A сопр = 0 - работа сил сопротивления.

Полная механическая энергия составной пружины представляет собой потенциальную энергию ее деформации:

• для недеформированной пружины

E 1 = W p 1 = 0,

• для растянутой пружины

E 2 = W p 2 = k общ (Δ l) 2 2 ,

где k общ - общий коэффицент жесткости составной пружины; ∆l - величина растяжения пружины.

Общий коэффициент жесткости двух пружин, соединенных параллельно, есть сумма

k общ = k 1 + k 2 ,

где k 1 - коэффициент жесткости первой пружины; k 2 - коэффициент жесткости второй пружины.

Работу внешней силы найдем из закона изменения полной механической энергии тела:

A внеш = E 2 − E 1 ,

подставив в данное выражение формулы, определяющие E 1 и E 2 , а также выражение для общего коэффициента жесткости составной пружины:

A внеш = k общ (Δ l) 2 2 − 0 = (k 1 + k 2) (Δ l) 2 2 .

Выполним расчет:

A внеш = (1,0 + 2,0) ⋅ 10 3 ⋅ (20 ⋅ 10 − 2) 2 2 = 60 Дж.

Пример 32. Пуля массой 10,0 г, летящая со скоростью 800 м/с, попадает в стену. Модуль силы сопротивления движению пули в стене постоянен и составляет 8,00 кН. Определить, на какое расстояние пуля углубится в стену.

Решение. На рисунке показаны два положения пули: при ее подлете к стене (первое) и к моменту остановки (застревания) пули в стене (второе).

Полная механическая энергия пули яв­ляется кинетической энергией ее движения:

• при подлете пули к стене

E 1 = W k 1 = m v 1 2 2 ;

• к моменту остановки (застревания) пули в стене

E 2 = W k 2 = m v 2 2 2 ,

где W k 1 - кинетическая энергия пули при подлете к стене; W k 2 - кинетическая энергия пули к моменту ее остановки (застревания) в стене; m - масса пули; v 1 - модуль скорости пули при подлете к стене; v 2 = 0 - величина скорости пули к моменту остановки (застревания) в стене.

Расстояние, на которое пуля углубится в стену, найдем из закона изменения полной механической энергии пули:

E 2 − E 1 = A внеш + A сопр,

где E 1 = m v 1 2 2 - полная механическая энергия пули при подлете к стене; E 2 = 0 - полная механическая энергия пули к моменту ее остановки (застревания) в стене; A внеш = 0 - работа внешних сил (внешние силы отсутствуют); A сопр - работа сил сопротивления.

Работа сил сопротивления определяется произведением:

A сопр = F сопр l cos α ,

где F сопр - модуль силы сопротивления движению пули; l - расстояние, на которое углубится пуля в стену; α = 180° - угол между направлениями силы сопротивления и направлением движения пули.

Таким образом, закон изменения полной механической энергии пули в явном виде выглядит следующим образом:

− m v 1 2 2 = F сопр l cos 180 ° .

Искомое расстояние определяется отношением

l = − m v 1 2 2 F сопр cos 180 ° = m v 1 2 2 F сопр

l = 10,0 ⋅ 10 − 3 ⋅ 800 2 2 ⋅ 8,00 ⋅ 10 3 = 0,40 м = 400 мм.

Решение.

Для решения задачи рассмотрим физическую систему «тело – гравитационное поле Земли». Тело будем считать материальной точкой, а гравитационное поле Земли - однородным. Выделенная физическая система является незамкнутой, т.к. во время движения тела взаимодействует с воздухом.
Если не учитывать выталкивающую силу, действующую на тело со стороны воздуха, то изменение полной механической энергии системы равняется работе силы сопротивления воздуха, т.е. ∆ E = A c .

Нулевой уровень потенциальной энергии выберем на поверхности Земли. Единственной внешней силой в отношении системы «тело – Земля» является сила сопротивления воздуха, направленная вертикально вверх. Начальная энергия системы E 1 , конечная E 2 .

Работа силы сопротивления A.

Т.к. угол между силой сопротивления и перемещением равен 180° , то косинус равен -1, поэтому A = - F c h . Приравняем A.

Рассматриваемую незамкнутую физическую систему можно также описать теоремой от изменении кинетической энергии системы взаимодействующих между собой объектов, согласно которой изменение кинетической энергии системы равно работе, совершенной внешними и внутренними силами при ее переходе из начального состояния в конечное. Если не учитывать выталкивающую силу, действующую на тело со стороны воздуха, а внутренней – сила тяжести. Следовательно ∆ E к = A 1 + A 2 , где A 1 = mgh – работа силы тяжести, A 2 = F c hcos 180° = - F c h – работа силы сопротивления; ∆ E = E 2 – E 1 .

Это творческое задание для мастер-класса по информатике для школьников при ДВФУ.
Цель задания - выяснить, как изменится траектория тела, если учитывать сопротивление воздуха. Также необходимо ответить на вопрос, будет ли дальность полёта по-прежнему достигать максимального значения при угле бросания в 45°, если учитывать сопротивление воздуха.

В разделе "Аналитическое исследование" изложена теория. Этот раздел можно пропустить, но он должен быть, в основном, понятным для вас, потому что бо льшую часть из этого вы проходили в школе.
В разделе "Численное исследование" содержится описание алгоритма, который необходимо реализовать на компьютере. Алгоритм простой и краткий, поэтому все должны справиться.

Аналитическое исследование

Запишем второй закон Ньютона: .
Ускорение в каждый момент времени есть (мгновенная) скорость изменения скорости, то есть производная от скорости по времени: .

Следовательно, 2-й закон Ньютона можно переписать в следующем виде:
, где - это равнодействующая всех сил, действующая на тело.
Так как на тело действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха, то
.

Мы будем рассматривать три случая:
1) Сила сопротивления воздуха равна 0: .
2) Сила сопротивления воздуха противоположно направлена с вектором скорости, и её величина пропорциональна скорости: .
3) Сила сопротивления воздуха противоположно направлена с вектором скорости, и её величина пропорциональна квадрату скорости: .

Вначале рассмотрим 1-й случай.
В этом случае , или .


Из следует, что (равноускоренное движение).
Так как (r - радиус-вектор), то .
Отсюда .
Эта формула есть не что иное, как знакомая вам формула закона движения тела при равноускоренном движении.
Так как , то .
Учитывая, что и , получаем из последнего векторного равенства скалярные равенства:

Проанализируем полученные формулы.
Найдём время полёта тела. Приравняв y к нулю, получим

Из этой формулы следует, что максимальная дальность полёта достигается при .
Теперь найдём уравнение трактории тела . Для этого выразим t через x

И подставим полученное выражение для t в равенство для y .

Полученная функция y (x ) -- квадратичная функция, её графиком является парабола, ветви которой направлены вниз.
Про движение тела, брошенного под углом к горизонту (без учёта сопротивления воздуха), рассказывается в этом видеоролике.

Теперь рассмотрим второй случай: .

Второй закон приобретает вид ,
отсюда .
Запишем это равенство в скалярном виде:

Мы получили два линейных дифференциальных уравнения .
Первое уравнение имеет решение

В чём можно убедиться, подставив данную функцию в уравнение для v x и в начальное условие .
Здесь e = 2,718281828459... -- число Эйлера .
Второе уравнение имеет решение

Так как , , то при наличии сопротивления воздуха движение тела стремится к равномерному, в отличие от случая 1, когда скорость неограниченно увеличивается.
В следующем видеоролике говорится, что парашютист сначала движется ускоренно, а потом начинает двигаться равномерно (даже до раскрытия парашюта).

Это система нелинейных дифференциальных уравнений . Данную систему не удаётся решить в явном виде, поэтому необходимо применять численное моделирование.

Численное исследование

Будем рассматривать второй случай, когда сила сопротивления воздуха определяется формулой. Отметим, что при k = 0 получаем первый случай.

Скорость тела подчиняется следующим уравнениям:

В левых частях этих уравнений записаны компоненты ускорения .
Напомним, что ускорение есть (мгновенная) скорость изменения скорости, то есть производная от скорости по времени.
В правых частях уравнений записаны компоненты скорости. Таким образом, данные уравнения показывают, как скорость изменения скорости связана со скоростью.

Попробуем найти решения этих уравнений при помощи численных методов. Для этого введём на временной оси сетку : выберем число и будем рассматривать моменты времени вида : .

Наша задача -- приближённо вычислить значения в узлах сетки.

Заменим в уравнениях ускорение (мгновенную скорость изменения скорости) на среднюю скорость изменения скорости, рассматривая движение тела на промежутке времени :

Теперь подставим полученные аппроксимации в наши уравнения.

Полученные формулы позволяют нам вычислить значения функций в следующем узле сетки, если известны значения этих функций в предыдущем узле сетки.

При помощи описанного метода мы можем получить таблицу приближённых значений компонент скорости.

Как найти закон движения тела, т.е. таблицу приближённых значений координат x (t ), y (t )? Аналогично!
Имеем

Значение vx[j] равняется значению функции , для других массивов аналогично.
Теперь остаётся написать цикл, внутри которого мы будем вычислять vx через уже вычисленное значение vx[j], и с остальными массивами то же самое. Цикл будет по j от 1 до N .
Не забудьте инициализировать начальные значения vx, vy, x, y по формулам , x 0 = 0, y 0 = 0.

В Паскале и Си для вычисления синуса и косинуса имеются функции sin(x) , cos(x) . Обратите внимание, что эти функции принимают аргумент в радианах.

Вам необходимо построить график движения тела при k = 0 и k > 0 и сравнить полученные графики. Графики можно построить в Excel.
Отметим, что расчётные формулы настолько просты, что для вычислений можно использовать один только Excel и даже не использовать язык программирования.
Однако в дальнейшем вам нужно будет решить задачу в CATS, в которой нужно вычислить время и дальность полёта тела, где без языка программирования не обойтись.

Обратите внимание, что вы можете протестировать вашу программу и проверить ваши графики, сравнив результаты вычислений при k = 0 с точными формулами, приведёнными в разделе "Аналитическое исследование".

Поэкспериментируйте со своей программой. Убедитесь в том, что при отсутствии сопротивления воздуха (k = 0) максимальная дальность полёта при фиксированной начальной скорости достигается при угле в 45°.
А с учётом сопротивления воздуха? При каком угле достигается максимальная дальность полёта?

На рисунке представлены траектории тела при v 0 = 10 м/с, α = 45°, g = 9,8 м/с 2 , m = 1 кг, k = 0 и 1, полученные при помощи численного моделирования при Δt = 0,01.

Вы можете ознакомиться с замечательной работой 10-классников из г. Троицка, представленной на конференции "Старт в науку" в 2011 г. Работа посвящена моделированию движения теннисного шарика, брошенного под углом к горизонту (с учетом сопротивления воздуха). Применяется как численное моделирование, так и натурный эксперимент.

Таким образом, данное творческое задание позволяет познакомиться с методами математического и численного моделирования, которые активно используются на практике, но мало изучаются в школе. К примеру, данные методы использовались при реализации атомного и космического проектов в СССР в середине XX века.

Силами сопротивления называются силы, препятствующие движению автомобиля. Эти силы направлены против его движе­ния.

При движении на подъеме, характеризуемом высотой H п, длиной проекции В п на гори­зонтальную плоскость и углом подъема дороги α, на автомобиль действуют следующие силы со­противления (рис. 3.12): сила со­противления качению Р к , равная сумме сил сопротивления каче­нию передних (Р К|) и задних (Р К2) колес, сила сопротивления подъе­му Р п , сила сопротивления воз­духа Д и сила сопротивления раз­гону Р И . Силы сопротивления ка­чению и подъему связаны с особенностями дороги. Сумма этих сил называется силой сопротивления дороги Р Д .

Рис. 3.13. Потери энергии на внутреннее трение в шине:

а - точка, соответствующая мак­симальным значениям нагрузки и прогиба шины

Сила сопротивления качению

Возникновение силы сопротивления качению при движении обусловлено потерями энергии на внутреннее трение в шинах, поверхностное трение шин о дорогу и образование колеи (на деформируемых дорогах).О потерях энергии на внутреннее трение в шине можно судить по рис. 3.13, на котором приведена зависимость между вертикаль­ной нагрузкой на колесо и деформацией шины - ее прогибом f ш .

При движении колеса по неровной поверхности шина, испы­тывая действие переменной нагрузки, деформируется. Линия αО, которая соответствует возрастанию нагрузки, деформирующей шину, не совпадает с линией аО, отвечающей снятию нагрузки. Площадь области, заключенной между указанными кривыми, ха­рактеризует потери энергии на внутреннее трение между отдель­ными частями шины (протектор, каркас, слои корда и др.).

Потери энергии на трение в шине называются гистерезисом, а линия ОαО - петлей гистерезиса.

Потери на трение в шине необратимы, так как при деформа­ции она нагревается и из нее выделяется теплота, которая рассе­ивается в окружающую среду. Энергия, затрачиваемая на дефор­мацию шины, не возвращается полностью при последующем вос­становлении ее формы.

Сила сопротивления качению Р к достигает наибольшего зна­чения при движении по горизонтальной дороге. В этом случае

где G - вес автомобиля, Н; f - коэффициент сопротивления качению.

При движении на подъеме и спуске сила сопротивления каче­нию уменьшается по сравнению с Р к на горизонтальной дороге, и тем значительнее, чем они круче. Для этого случая движения сила сопротивления качению

где α - угол подъема, °.

Зная силу сопротивления качению, можно определить мощ­ность, кВт,

затрачиваемую на преодоление этого сопротивления:

где v -скорости автомобиля,м/c 2

Для горизонтальной дороги соs0°=1 и

З
ависимости силы сопротивления качениюР к и мощности N К от скорости автомобиля v показаны на рис. 3.14

Коэффициент сопротивления качению

Коэффициент сопротивления качению существенно влияет на потери энергии при движении автомобиля. Он зависит от многих конструктивных и эксплуатационных

Рис 3.15. Зависимости коэффициента сопротивления качению от

Скорости движения (а), давления воздуха в шине (б) и момента, передаваемого через колесо (в)

факторов и определяется экспериментально. Его средние значения для различных дорог при нормальном давлении воздуха в шине составляют 0,01 ...0,1.Рассмотрим влияние различных факторов на коэффициент сопротивления качению.

Скорость движения . При изменении скорости движения в ин­тервале 0...50 км/ч коэффициент сопротивления качению изме­няется незначительно и его можно считать постоянным в указан­ном диапазоне скоростей.

При повышении скорости движения за пределами указанного интервала коэффициент сопротивления качению существенно уве­личивается (рис. 3.15, а) вследствие возрастания потерь энергии в шине на трение.

Коэффициент сопротивления качению в зависимости от ско­рости движения можно приближенно рассчитать по формуле

где - скорость автомобиля, км/ч.

Тип и состояние покрытия дороги. На дорогах с твердым по­крытием сопротивление качению обусловлено главным образом деформациями шины.

При увеличении числа дорожных неровностей коэффициент сопротивления качению возрастает.

На деформируемых дорогах коэффициент сопротивления ка­чению определяется деформациями шины и дороги. В этом случае он зависит не только от типа шины, но и от глубины образую­щейся колеи и состояния грунта.

Значения коэффициента сопротивления качению при рекомен­дуемых уровнях давления воздуха и нагрузки на шину и средней скорости движения на различных дорогах приведены ниже:

Асфальто- и цементобетонное шоссе:

в хорошем состоянии..................................... 0,007...0,015

в удовлетворительном состоянии............... 0,015...0,02

Гравийная дорога в хорошем состоянии.... 0,02...0,025

Булыжная дорога в хорошем состоянии...... 0,025...0,03

Грунтовая дорога сухая, укатанная.............. 0,025...0,03

Песок.................................................................... 0,1...0,3

Обледенелая дорога, лед............................... 0,015...0,03

Укатанная снежная дорога............................. 0,03...0,05

Тип шины. Коэффициент сопротивления качению во многом зависит от рисунка протектора, его износа, конструкции каркаса и качества материала шины. Изношенность протектора, уменьше­ние числа слоев корда и улучшение качества материала приводят к падению коэффициента сопротивления качению вследствие снижения потерь энергии в шине.

Давление воздуха в шине . На дорогах с твердым покрытием при уменьшении давления воздуха в шине коэффициент сопро­тивления качению повышается (рис. 3.15, б). На деформируемых дорогах при снижении давления воздуха в шине уменьшается глу­бина колеи, но возрастают потери на внутреннее трение в шине. Поэтому для каждого типа дороги рекомендуется определенное давление воздуха в шине, при котором коэффициент сопротивле­ния качению имеет минимальное значение.

Момент, передаваемый через колесо . При передаче момента через колесо коэффициент сопротивления качению возрастает (рис. 3.15, в) вследствие потерь на проскальзывание шины в месте ее контакта с дорогой. Для ведущих колес значение коэффициента сопротивления качению на 10... 15 % больше, чем для ведомых.

Коэффициент сопротивления качению оказывает существен­ное влияние на расход топлива и, следовательно, на топливную экономичность автомобиля. Исследования показали, что даже не­большое уменьшение этого коэффициента обеспечивает ощути­мую экономию топлива. Поэтому неслучайно стремление конст­рукторов и исследователей создать такие шины, при использова­нии которых коэффициент сопротивления качению будет незна­чительным, но это весьма сложная проблема.